천천히 꾸준히

안녕하세요. 

공분산의 역행렬에 대해 공부하다가 "조건부 종속성"이라는 용어가 이해가 안되어 정리하려고 합니다.

혹시 "조건부 종속성"이라는 말 들어보셨나요? 

자 오늘은 비오는 날, 우산, 그리고 운동을 예시로 조건부 종속성을 이해해보려고 합니다.

독립 vs 종속 : 변수들의 관계?

먼저, 통계에서 자주 등장하는 변수란 무엇일까요? 간단히 말해, 변할 수 있는 모든 것을 의미합니다.

예를 들어, 오늘의 날씨, 기온, 여러분의 기분 등이 모두 변수가 될수 있습니다.

이러한 변수들은 서로 영향을 주고 받는 종속 관계이거나, 전혀 상관없는 독립 관계 일 수 있습니다.

- 독립 : 서로 아무런 영향을 주고받지 않는 관계예요. 마치 평행선처럼요! 

   예를 들어, 오늘의 기온 과 여러분이 읽은 책 페이지 수 는 서로 독립적일 가능성이 높겠죠?
- 종속: 서로 영향을 주고받는 관계입니다. 마치 톱니바퀴처럼 얽혀있는 거죠!

   비가 오는 날 (🌧️) 과 우산을 쓰는지 여부 (☂️) 는 서로 종속적인 관계입니다.

   비가 오면 우산을 쓸 확률이 높아지니까요!

조건부 종속성: 숨겨진 관계?

조건부 종속성을 알아볼까요? 🎉 이는 특정 조건 이 주어졌을 때, 

독립적이라고 생각했던 변수들이 종속적인 관계로 변하는 것 을 의미합니다.

예를 들어, 평소에는 비 오는 날 (🌧️) 과 운동 여부 (🏃) 사이에 큰 관련이 없다고 생각해 봅시다. 

하지만 여기에 '우산' (☂️) 이라는 새로운 조건을 추가해 볼까요?

☂️ 우산을 쓴다면?: 비가 오더라도 우산을 썼기 때문에 밖에 나가 운동할 수 있습니다. 

즉, 비 오는 날 (🌧️) 과 운동 여부 (🏃) 는 독립 에 가까워집니다.

🚫 우산이 없다면?: 비가 오는데 우산이 없다면? 밖에 나가 운동하기 쉽지 않겠죠. 

이 경우 비 오는 날 (🌧️) 과 운동 여부 (🏃) 는 종속 관계가 됩니다.

결국 '우산' (☂️) 이라는 조건에 따라 비 오는 날 (🌧️) 과 운동 여부 (🏃) 사이의 관계가 달라지는 것을 알 수 있습니다. 

이처럼 조건부 종속성은 숨겨진 변수들의 관계 를 파악하는 데 중요한 역할을 합니다!

표준편차란?

- 자료의 관찰값들이 얼마나 흩어져 있는지 그정도를 하나의 수치로 나타내는 방법입니다. 

- 관찰값에서 평균을 뺀 값을 편차라고 하는데, 이 편차의 평균은 필연적으로 0이 됩니다.

예를 들어 주사위에 관찰값은 1,2,3,4,5,6 이고, 평균은 3.5입니다.

편차는

1) 1-3.5 = -2.5

2) 2-3.5 = -1.5

3) 3-3.5 = -0.5

4) 4-3.5 = 0.5

5) 5-3.5 = 1.5

6) 6-3.5 = 2.5

1)~6)까지의 수를 모두 더하게 되고 이는 0이 됩니다. 이는 평균으로부터 관찰값들이 얼마나 떨어져 있는지 알수 없기에

표준편차라는 개념이 생겨났고, 분산 또안 관찰값들이 얼마나 흩어져 있는지 알수있는 방법으로, 분산의 제곱근 한 것이 표준 편차가 됩니다. 아래 수식에서 V는 분산, 소문자 시그마  σ는 표준편차입니다.

Q) 주사위를 던졌을 때, 표준편차는 어떻게 되는가?

.A) 주사위의 기댓값은 3.5이기 때문에, 분산은 2.917, 표준편차는 1.708입니다.

기댓값이란?

- 어떤 확률을 무한히 반복했을 때, 얻을 수 있는 값의 평균입니다. 아래 예시를 통해 이해해 보도록 하죠.

Q) 주사위를 던젔을 때, 기댓값은 어떻게 되는가? 

A) 주사위의 값과 각 면이 나올 기댓값은 3.5, 아래와 같습니다.

위의 식은 아래와 같이 E(X)라 표현할 수 있으며, 아래와 같이 정리할 수 있습니다.