천천히 꾸준히

In mathematics, the natural constant e plays a crucial role. Like other fundamental mathematical constants, e is indispensable in many areas of mathematics:

• 1: The identity element for multiplication
• 0: The identity element for addition
• π: The ratio of a circle’s circumference to its diameter
• e: The base of the natural logarithm

But what exactly is e?

Defining e

The number e can be understood as "the value obtained when you raise (1 + a very small number) to an infinitely large power."

Mathematically, this is expressed as:

As x grows infinitely large, the value of the expression approaches e.

Approximate Value of e

Since e is an irrational number and a transcendental number, it cannot be exactly expressed as a finite decimal. However, its approximate value is:

e ≈ 2.718281828

Simply put, e is a natural constant, approximately 2.71828, and it results from raising (1 + an infinitely small number) to an infinitely large power.

Understanding e with a Graph

To better understand e, let's look at the graph of the function:

As x approaches infinity, the function’s value converges to e ≈ 2.71828. Conversely, as x decreases toward negative values, the function grows exponentially.

This property makes e fundamental in exponential growth and decay models.

Why is e Important?

e is more than just a number. It appears in many crucial areas of mathematics and science:

1. The Base of the Natural Logarithm:
   • The natural logarithm (ln) is defined using e, making it essential in logarithmic functions.
2. Compound Interest and Growth Models:
   • e is used in financial models, population growth, and radioactive decay calculations.
3. Calculus and Differential Equations:
   • Many fundamental formulas in calculus involve e, especially in differentiation and integration.

Because of these properties, e is one of the most important mathematical constants.

Additional Explanation

One fascinating fact about e is that it appears naturally in situations involving continuous growth. For example, if you continuously compound interest on an investment, the final amount can be calculated using e.

Additionally, in calculus, the function e^x has the unique property that its derivative is itself:

This makes e the foundation of many mathematical models describing real-world phenomena.

References

• Naver Knowledge Encyclopedia
• Desmos Graphing Calculator

수학에서 자연상수 e는 매우 중요한 역할을 하는 숫자입니다. e는 아래의 수학 상수들처럼 수학의 세계에서 빼놓을 수 없는 존재입니다.

• 1: 덧셈과 곱셈의 항등원
• 0: 덧셈의 항등원
• π: 원주율
• e: 자연로그의 밑

그렇다면 e는 정확히 무엇일까요?

e를 정의해봅시다

e는 **"1에 아주 작은 수를 더한 값을 무한히 큰 숫자로 거듭제곱했을 때 나오는 값"**입니다.

수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

위 식을 보면, x가 무한히 커질수록 e에 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

e의 근삿값은?

e는 무리수이자 초월수로, 정확히 표현할 수는 없지만 근삿값은 다음과 같습니다:

e ≈ 2.718281828

다시 말하면 e는 자연상수이고 값은 2.1828...이며 1에다가 0에 가까운 무한소를 더하고 그값을 무한대로 제곱한 값이다. 

e를 이해하는 다른 방법: 그래프

e를 더 잘 이해하기 위해 아래 함수의 그래프를 그려보겠습니다.

이 그래프를 보면 x가 0에 가까워질수록 함수의 값이 e≈2.71828에 가까워지는 것을 알 수 있습니다. 반대로 x가 음수로 가면 값은 점점 커집니다.

왜 중요한가요?

e는 단순한 숫자가 아닙니다. 아래와 같은 중요한 역할을 합니다:

1. 자연로그의 밑으로 사용됩니다.
2. 복리 계산, 성장과 붕괴 모델(예: 인구 증가, 방사성 붕괴)에서 핵심적인 역할을 합니다.
3. 미적분학의 여러 공식에서 핵심적인 상수로 등장합니다.

reference

- https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1134067&cid=40942&categoryId=32210

- https://www.desmos.com/calculator?lang=ko